幼儿怎样学习数学？

儿童是怎样学习数学的？这个问题既简单又复杂。简单的理由是，他们几乎在不经意间就学会了数数。尽管开始时是胡乱地数，但逐渐地，他们就记住了正确的顺序，并且还能理解数的实际意义、做简单的加减运算……这一切似乎都顺理成章。然而，这对幼儿来说是一项了不起的成就。事实上，幼儿的数学概念从萌发到初步形成，经历了一个复杂而漫长的过程。而这一切都缘于数学知识本身的特点。
一、数学知识的特点
前面已经阐明，数学是对现实的一种抽象。1，2，3，4……等等数字，绝不是一些具体事物的名称，而是人类所创造的一个独特的符号系统。正如卡西尔（E.Cassirer）所言，“数学是一种普遍的符号语言--它与对事物的描述无关而只涉及对关系的一般表达”。 也就是说，数是对事物之间关系的一种抽象。
数学知识究其实质，是一种高度抽象化的逻辑知识。
1、数学知识是一种逻辑知识。
数学知识所反映的不是客观事物本身所具有的特征或属性，而是事物之间的关系。当我们说一堆橘子的数量是“5个”时，并不能从其中任何一个橘子中看到“5”这一属性，因为“5”这一数量属性并不存在于任何一个橘子中，而是存在于它们的相互关系中--所有的橘子构成了一个数量为“5”的整体。我们要通过点数得出橘子的总数来，就需要协调各种关系。可以说数目概念的获得是对各种关系加以协调的结果。
因此，幼儿对数学知识的掌握，并不像记住一个人的名字那样简单，实际上是一种逻辑知识的获得。按照皮亚杰的区分，有三种不同类型的知识：物理知识，逻辑数理知识和社会知识。所谓社会知识，就是依靠社会传递而获得的知识。在数学中，数字的名称、读法和写法等都属于社会知识，它们都有赖于教师的传授。如果没有教师的传授，儿童自己是无法发现这些知识的。物理知识和逻辑数理知识都要通过儿童自己和物体的相互作用来获得，而这两类知识之间又有不同。物理知识是有关事物本身的性质的知识，如橘子的大小、颜色、酸甜。儿童要获得这些知识，只需通过直接作用于物体的动作（看一看、尝一尝）就可以发现了。因此，物理知识来源于对事物本身的直接的抽象，皮亚杰称之为“简单抽象”。逻辑数理知识则不同，它不是有关事物本身的性质的知识，因而也不能通过个别的动作直接获得。它所依赖的是作用于物体的一系列动作之间的协调，以及对这种动作协调的抽象，皮亚杰称之为“反省抽象”。反省抽象所反映的不是事物本身的性质，而是事物之间的关系。如幼儿掌握了橘子的数量“5”，就是抽象出了这堆橘子的数量关系特征，它和这些橘子的大小、颜色、酸甜无关，也和它们的排列方式无关：无论是横着排、竖着排，或是排成圈，它们都是5个。儿童对于这一知识的获得，也不是通过直接的感知，而是通过一系列动作的协调，具体说就是“点”的动作和“数”的动作之间的协调。首先，他必须使手点的动作和口数的动作相对应。其次是序的协调，他口中数的数应该是有序的，而点物的动作也应该是连续而有序的，既不能遗漏，也不能重复。最后，他还要将所有的动作合在一起，才能得到物体的总数。
总之，数学知识的逻辑性，决定了幼儿学习数学知识不是一个简单的记忆的过程，而是一个逻辑的思考的过程。它必须依赖于对各种逻辑关系的协调，这是一种反省的抽象。
2、数学知识是一种抽象的逻辑知识。
数学知识所反映的还不仅仅是具体事物之间的关系，而是从中抽象出来的、普遍存在的数学关系。即使是幼儿阶段所学习的10以内的自然数，也具有抽象的意义。比如“5”，它可以表示5个人、5只狗、5辆汽车、5个小圆片……任何数量是“5”的物体。只有当幼儿懂得了数字所表示的各种含义时，才能说他真正理解了数字的意义。这不仅需要他能从一堆具体的事物中抽取出5这一数量属性，还要能把这一抽象的计数原则运用于各种具体的事物身上，知道“5”不仅属于5只橘子，它是一种抽象的数学关系。
幼儿要能理解数学知识的抽象性，必须具备一种抽象的逻辑思考能力，即要能摆脱具体事物的干扰，对其中的数学关系进行思考。如在进行“5的分合”时，具备抽象思考能力的幼儿就能理解，他分的不仅是5个橘子，而且是一个抽象的数量“5”。他分的结果也不仅对当前的事情有意义，而且能够推广到其它任何数量为“5”的事物上面--它们都可以根据这个原则进行分合，因为它们具有相同的数量。反过来，如果幼儿不能进行抽象的思考，即使他能够分5只橘子，也不一定会分5个苹果，因为对他来说这又是另一件事情了。
由此可见，幼儿学习数学知识是一个从具体的事物中抽象出普遍的数学关系的过程。幼儿要能理解数这种抽象的逻辑知识，不仅要具备一定的逻辑观念，还要具备一定的抽象思考能力。那么，幼儿是否具有了这些心理准备呢？
二、幼儿学习数学的心理准备
幼儿有没有逻辑呢？皮亚杰认为是有的。儿童通过反省的抽象所获得的逻辑数理知识，正是其逻辑的来源。这里要解释的是，皮亚杰所说的逻辑，不同于我们平时所说的思维的“逻辑”，而是包含两个层面，即动作的层面和抽象的层面。儿童逻辑的发展遵循着从动作的层面向抽象的层面转化的规律。他对儿童逻辑的心理学研究发现，对应结构、序列结构和类包含结构不仅是数学知识的基础，也是儿童的基本的逻辑结构。也就是说，数学知识的逻辑和幼儿的心理逻辑是相对应的。幼儿思维的发展，特别是幼儿逻辑观念的发展，为他们学习数学提供了重要的心理准备。那么，幼儿的思维发展为他们学习数学知识提供了什么样的逻辑准备呢？
1、幼儿逻辑观念的发展
我们以数学知识中普遍存在的逻辑观念--一一对应观念、序列观念和类包含观念为例，考察幼儿逻辑观念的发展。
（1）一一对应观念
幼儿的一一对应观念形成于小班中期（3岁半以后）。起初，他们可能只是在对应的操作中感受到一种秩序，并没有将其作为比较两组物体数目多少的办法。逐渐地，他们发现过去仅靠直觉判断多少是不可靠的：有的时候，占的地方大，数目却不一定多。而通过一一对应来比较多少更加可靠一些。在小班末期，有的儿童已建立了牢固的一一对应观念。比如在“交替排序”活动中，存在四种物体，其中既有交替排序，又有对应排序。教师问一个儿童小鸡有多少，他通过点数说出有4只，再问小虫（和小鸡对应）有多少，他一口报出有4条。又问小猫有多少，他又通过点数得出有4只，再问鱼（和猫对应）有多少，他又一口报出有4条。说明幼儿此时已非常相信通过对应的方法确定等量的可靠性。
但是能不能说，幼儿此时已在头脑中建立了一一对应的逻辑观念呢？皮亚杰用一个有趣的“放珠子”实验作出了相反的回答。实验者向幼儿呈现两只盒子，一只盛有许多珠子，让幼儿往另一只空盒子里放珠子，问幼儿如果一直放下去，两只盒子里的珠子会不会一样多，幼儿不能确认。他先回答不会，因为它里面的珠子很少。当主试问如果一直放下去呢，他说就会比前面的盒子多了，而不知道肯定会有一个相等的时候。可见幼儿在没有具体的形象作支持时，是不可能在头脑中将两个盒子里的珠子作一一对应的。
（2）序列观念
序列观念是幼儿理解数序所必需的逻辑观念。幼儿对数序的真正认识，不是靠记忆，而是靠他对数列中数与数之间的相对关系（数差关系和顺序关系）的协调：每一个数都比前一个数多一，比后一个数少一。这种序列不能通过简单的比较得到，而有赖于在无数次的比较之间建立一种传递性的关系。因此，这是一种逻辑观念而不仅仅是直觉或感知。那么，幼儿的序列观念是怎样建立起来的呢？
我们可以观察到，小班幼儿在完成长短排序的任务时，如果棒棒的数量多于5个，他们还是有困难的。说明幼儿这时的幼儿尽管面对操作材料，也难以协调这么多的动作。中班以后，幼儿逐渐能够完成这个任务，而且他们完成任务的策略也是逐渐进步的。起先，他们是通过经验来解决问题，每一次成功背后都有无数次错误的尝试。我就看到有一个幼儿在完成排序之前经历了12次失败，而且每次只要有一点错误就全部推翻重来。到了后一阶段，幼儿开始能够运用逻辑解决问题。他每次找一根最短（或最长）的，依次往下排。因为他知道，他每次拿的最短的棒棒必定比前面所有的长，同时必定比后面所有的短。这就说明幼儿此时已具备了序列的观念。同样，这种序列观念只是在具体事物面前有效。如果脱离了具体形象，即使只有三个物体，幼儿也很难排出它们的序列。一个典型的例子就是：“小红的岁数比小明大，小亮的岁数比小红大。他们三个人，谁的岁数最大？”幼儿对这个问题是感到非常困难的。
（3）类包含观念
幼儿在数数时，都要经历这样的阶段：他能点数物体，却报不出总数。即使有的幼儿知道最后一个数就是总数（比如数到8就是8个），也未必真正理解总数的实际意义。如果我们要求他“拿8个物体给我”，他很可能就把第8个拿过来。说明这时幼儿还处在罗列个体的阶段，没有形成整体和部分之间的包含关系。幼儿要真正理解数的实际意义，就应该知道数表示的是一个总体，它包含了其中的所有个体。如5就包含了5个1，同时，每一个数，都被它后面的数所包含。只有理解了数的包含关系，幼儿才可能学习数的组成和加减运算。
幼儿从小班开始就能在感知的基础上进行简单的分类活动。但是在他们的思维中，还没有形成类和子类之间的层级关系，更不知道整体一定大于部分。作者曾经问一个幼儿，是红片片多还是片片多，他一直认为是红片片多。直到作者向他解释，片片指的是所有的片片，而不是（剩下的）绿片片，他才作出了正确的回答。而他得到答案的方式也是耐人寻味的。他不是象我们所想象的那样靠逻辑判断，而是一一点数，得出红片片是8个，片片是10个。片片比红片片多。这里，我们可以清楚地看到，在幼儿头脑中，整体与部分之间并没有形成包含关系，而是并列的两个部分的关系。他们至多只是借助于具体的形象来理解包含关系，而决没有抽象的类包含的逻辑观念。
通过以上的考察，我们可以看出，幼儿已经具备了一定的逻辑观念，这为他们学习数学提供了一定的心理准备。但这些逻辑观念又都具有很大的局限性，也就是说，它们非常依赖于具体的动作和形象。如果这些问题是和直接的、外化的动作和形象相联系的，幼儿则有可能解决，如果是较为间接的、需要内化于头脑的问题，幼儿就无能为力了。这个现象，正是由幼儿思维的抽象程度所决定的。
2、幼儿思维的抽象性及其发展
皮亚杰认为，抽象的思维起源于动作。抽象水平的逻辑来自于对动作水平的逻辑的概括和内化。在一岁半左右，幼儿具备了表象性功能，这使得抽象的思考开始成为可能。幼儿能够借助于头脑中的表象，对已经不在此时此地的事物进行间接的思考。能够摆脱时间和空间的限制而在头脑中进行思考，这是幼儿抽象思维发展的开始。然而，要在头脑中完全达到一种逻辑的思考，则是在大约十年以后。之所以需要这么长的时间，是因为幼儿要在头脑中重新建构一个抽象的逻辑。这不仅需要将动作内化于头脑中，还要能将这些内化了的动作在头脑中自如地加以逆转，即达到一种可逆性。这对幼儿来说，不是一件容易的事情。举一个简单的例子，如果我们让一个成人讲述他是怎样爬行的，他未必能准确地回答，尽管爬行的动作对他来说并不困难。他需要一边爬行，一边反省自己的动作，将这些动作内化于头脑中，并在头脑中将这些动作按一定的顺序组合起来，才能概括成一个抽象的认识。幼儿的抽象逻辑的建构过程就类似于此，但他们所面临的困难比成人更大。因为在幼儿的头脑中，还没有形成一个内化的、可逆的运算结构。