从“大概念”看幼儿需要什么样的数学知识

        数学是研究周围世界的数量关系和空间形式的科学。众所周知，幼儿数学教育的内容可以分为两大系列：(1)数和量。(2)几何和空间。在实践中，教师往往比较重视数的内容，而忽视有关空间的内容。即使是数的教育内容，也往往被窄化为数数和加减运算，而其他一些对幼儿数概念发展十分有益的内容则被边缘化乃至被忽略。究竟应该教给幼儿哪些数学知识?本文从幼儿数学概念发展的需要出发，在参考国内外有关幼儿数学教育内容研究文献的基础上，结合我国幼儿数学教育的实际情况，分析幼儿数学知识内容的框架，并揭示这些数学知识背后的“大概念”，以期对实践工作者有所启发。一、幼儿数学知识内容的框架1．数和量数是对量的抽象(我们可以简单地将数和量的关系理解成5和5个苹果的关系)。幼儿对数的理解是从认识量开始并逐渐抽象而来的，因此，我们也常常用“数量”一词来笼统地指称数和量的学习内容。具体地说，数和量的知识内容包含以下几个方面。(1)数的认识幼儿对有关数的认识的内容主要包括以下几个方面：感数 从天生的知觉性感数(即不经点数直接说出总数)开始，学习概念性感数(即目测数群)。计数 从唱数开始，学习手口一致地点数物体并说出总数，以及后期的按群计数(包括有规律地按群计数，如两个一数、5个一数等)。基数和序数 区分数可以表示不同的意义，它既可以表示“几个”(基数)，又可以表示“第几”(序数)。数量表征 从用实物、图画、图符等手段表征数量开始，逐渐过渡到用数字符号表征数量。认识阿拉伯数字，后期还涉及十进制系统的位值概念。(2)数量关系幼儿阶段有关数量关系的学习包括连续量和不连续量(个数)的比较和排序。连续量的比较和排序 指对大小、长短、高矮、宽窄和厚薄等的比较和排序。从直接的、感知水平的比较和排序开始。通过尝试错误的方式学习多重比较和排序，最终达到借助第三方中介(如测量工具)进行连续量的比较，以及借助量的传递性和可逆性等逻辑关系进行连续量的排序。不连续量的比较和排序 指对物体个数的比较。也是从笼统的感知比较开始，学习通过一一对应的方式进行数量比较，最终达到通过计数来比较。估数(不精确的数量比较)学习通过比较未知数量和已知数量所占空间(多、少、差不多或倍数关系)，进行大致的数量估计。(3)数的运算幼儿对有关数的运算的学习仅限于对较小数量的加法和减法运算。加减运算的学习从早期的以实物等直观材料为工具，借助合并、分开等动作进行操作，逐步过渡到不借助直观的实物和动作，而依靠静态图像或头脑中呈现的物体表象进行加减运算，在后期还学习用算式来表征相应的加减运算．乃至计算加减算式题。(4)常见的量幼儿对有关常见的量的学习主要是理解大小、长短、厚薄等量的含义，也包括对时间和货币的认识和学习。对常见的量的学习．可以帮助幼儿建立起数学知识和日常生活之间的联系，理解数的实际应用。如认识钱币的单位及其兑换关系可以理解为十进制数位系统的应用。2．几何和空间(1)图形(二维图形和三维图形)的认识幼儿对二维图形和三维图形的学习处在初级阶段，他们不能理解数学图形的精确定义及其各项特征的数学表述，但通过学习能对正方形、圆形、三角形、长方形、梯形、椭圆形等进行正确的区分和命名，能对它们的组成部分和特征有所感知，甚至能感知图形的对称性。区分二维图形的边界和内部区域，是未来学习图形周长和面积的基础。最基本的三维图形有球体、圆柱体、正方体、长方体。学习三维图形不仅要感知这些形状的整体性和说出它们的名字，也要发现和分析它们的属性。二维图形和三维图形不能割裂开来学习，它们之间最直接的联系是“面在体上”。区分三维图形的内部和外表面，是未来学习表面积和体积的基础。(2)空间关系幼儿对空间关系的学习主要是指以下两方面：从不同角度观察和想象物体，通过想象和移动将物体嵌入合适的形状中。这类学习活动有利于将空间关系和形体特征联系起来。幼儿对二维空间和三维空间的学习始于描述空间中的相对位置和理解空间中的运动。幼儿描述空间中的相对位置是从简单的方位词学习开始的。小班幼儿通过学习能理解上、下、里、外等方位的含义并正确描述，逐渐领会空间方位的相对性。年龄较大的幼儿可以逐步理解用参照物来定位物体，进而学习“前坐标”。(3)空间分合幼儿学习二维图形的分合主要通过拼图活动进行。幼儿能通过拼图感知二维图形的边角特征，体验部分与整体的关系，用同一图形拼出其他图形也能使幼儿对“单位”的概念有初步的认识。在拼图过程中，幼儿会运用空间运动，即平移、翻转、旋转的策略。二维图形的分合是幼儿将来学习面积的基础。幼儿学习三维图形的分合主要通过搭积木活动进行。幼儿能通过搭积木活动感知三维图形的特征，体验部分与整体的关系，用同一图形拼出其他图形也能使幼儿对“单位”的概念有初步的认识。此外，还包括可以认出不同大小和方向的二维图形及三维图形；利用空间感将复杂图形分解为简单图形或将简单图形组合为复杂图形；认识对称轴。(4)空间测量测量，是确定物体的尺寸。幼儿学习测量的重点不是认识标准单位，而是理解测量的原理和意义，因此幼儿会从生活中的自然测量开始学习，逐步理解测量中单位的意义及测量中的等量替换关系。数学中最重要的测量属性是长度、面积和体积。为了测量一个量(长度、面积、体积)，需要选择单位。关于“单位”，幼儿需要逐步学习的一个要领是：测量一个物体时，越大的使用单位得出的数量越小，这是一个反比例关系。总之，数学知识内容之间并不是割裂、孤立的。仔细分析数学知识和技能，寻找那些跨越年级和知识领域的核心概念。发现其中的“大概念”，并围绕大概念展开教学，是建立正确、有效的数学课程的有效方法。二、以“大概念”帮助幼儿将数学知识内容融会贯通上面简要介绍了幼儿数学教育的知识内容框架。然而，这些知识并不是孤立的，而是经由数学“大概念(big ideas)”相互紧密联系在一起的。在实践中，我们也不应满足于这些具体知识的教学，而应着眼于它们背后的“大概念”。研究者发现，优秀的幼儿数学教育工作者的共同特征之一是：不仅拥有扎实的数学知识，而且其教学实践活动是围绕着一系列数学“大概念”展开的(Ma，1999；Stigler，2004；Weiss，Heck＆Shimkus，2004)。那么，什么是数学的“大概念”呢?根据国外学者的定义，“大概念”指的是数学的核心概念，它们与其他数学知识和技能有密切的联系，是其他数学知识和技能发展的基础。数学“大概念”将其他数学知识和技能连贯为一个整体(Chaffes，2005)。“理解了某一知识和技能与其他知识和技能之间的联系，才算真正理解和掌握这一知识和技能”(Hiebert，1997)。例如，在有关数的认识的内容中，“数是无穷的，每一个数对应数线上唯一的点”就是一个“大概念”。这一概念不仅对于幼儿认识1O以内或100以内的自然数相当重要，而且对于他们今后学习小数、分数乃至理解实数概念都是至关重要的。就幼儿阶段的学习内容来看，无论是唱数、点数、跳数，还是数量比较、加减运算，都可以同“心理数线”这个“大概念”联系起来：数数即是数数线上依次排列的点，跳数则是数数线上有规律间隔的点，数量比较可以看作是比较数线上两个点的相对位置，而加减运算也可以理解成是从数线上某一点向右或向左移动若干的距离。由此可见，“大概念”是数学知识的“集线器”．它能统率各种具体知识，从而将幼儿对数学概念的理解引向深入。在幼儿数学教育实践中，教师如能从“大概念”着眼，从具体知识着手，就能帮助幼儿将数学知识融会贯通。再以空间几何知识为例，“利用空间感将复杂图形分解为简单图形或将简单图形组合为复杂图形”也是一个“大概念”。且不说它在以后的几何证明中的重要性，在幼儿阶段的数学知识中它也扮演着“关联者”的角色。图形分合可以加深幼儿对几何图形特征的认识。如幼儿发现两个直角梯形可以组合成长方形，而两个等腰梯形只能组合成平行四边形，从中可以对以上图形特征有更深的认识。图形分合也是建立在一定的空间关系的基础上的，幼儿只有通过某种空间运动(旋转或翻转)，才能完成上述的图形组合任务。此外，图形组合还是理解空间测量的基础。幼儿对长方形面积的理解，就始于用若干个小方块(测量单位)覆盖整个图形的经验。事实上，图形分合的“大概念”能帮助幼儿理解空间中所存在的整体和部分的关系，而对这种关系的理解会影响幼儿对各种相关知识的掌握。总之，数学的“大概念”为数学课程的系统连贯提供了依据。理解数学“大概念”是组织正确、有效的数学教学活动的基础．一个有效的数学课程应该围绕数学的“大概念”展开。我们不仅要知道应该教给幼儿哪些具体的数学知识，更应该明白这些知识和技能之间的联系及背后的数学“大概念”，同时依据这些“大概念”将数学作为一个系统而连贯的课程来教授(NCTM，2009)。对于幼儿数学教育工作者来说，他们可以使用数学“大概念”指导教学实践，同时在教学实践中不断加强幼儿对“大概念”的理解；知道“大概念”跨越年级和知识领域之间的联系，了解幼儿随着年龄的增长对数学知识和技能的掌握会形成不同的发展阶段，以及这些不同发展阶段之间的联系。只有这样，才能使数学知识真正成为促进幼儿发展的载体。