幼儿怎样学习数学？

幼儿有没有逻辑呢？皮亚杰认为是有的。儿童通过反省的抽象所获得的逻辑数理知识，正是其逻辑的来源。这里要解释的是，皮亚杰所说的逻辑，不同于我们平时所说的思维的“逻辑”，而是包含两个层面，即动作的层面和抽象的层面。儿童逻辑的发展遵循着从动作的层面向抽象的层面转化的规律。他对儿童逻辑的心理学研究发现，对应结构、序列结构和类包含结构不仅是数学知识的基础，也是儿童的基本的逻辑结构。也就是说，数学知识的逻辑和幼儿的心理逻辑是相对应的。幼儿思维的发展，特别是幼儿逻辑观念的发展，为他们学习数学提供了重要的心理准备。那么，幼儿的思维发展为他们学习数学知识提供了什么样的逻辑准备呢？
1、幼儿逻辑观念的发展
我们以数学知识中普遍存在的逻辑观念--一一对应观念、序列观念和类包含观念为例，考察幼儿逻辑观念的发展。
（1）一一对应观念
幼儿的一一对应观念形成于小班中期（3岁半以后）。起初，他们可能只是在对应的操作中感受到一种秩序，并没有将其作为比较两组物体数目多少的办法。逐渐地，他们发现过去仅靠直觉判断多少是不可靠的：有的时候，占的地方大，数目却不一定多。而通过一一对应来比较多少更加可靠一些。在小班末期，有的儿童已建立了牢固的一一对应观念。比如在“交替排序”活动中，存在四种物体，其中既有交替排序，又有对应排序。教师问一个儿童小鸡有多少，他通过点数说出有4只，再问小虫（和小鸡对应）有多少，他一口报出有4条。又问小猫有多少，他又通过点数得出有4只，再问鱼（和猫对应）有多少，他又一口报出有4条。说明幼儿此时已非常相信通过对应的方法确定等量的可靠性。
但是能不能说，幼儿此时已在头脑中建立了一一对应的逻辑观念呢？皮亚杰用一个有趣的“放珠子”实验作出了相反的回答。实验者向幼儿呈现两只盒子，一只盛有许多珠子，让幼儿往另一只空盒子里放珠子，问幼儿如果一直放下去，两只盒子里的珠子会不会一样多，幼儿不能确认。他先回答不会，因为它里面的珠子很少。当主试问如果一直放下去呢，他说就会比前面的盒子多了，而不知道肯定会有一个相等的时候。可见幼儿在没有具体的形象作支持时，是不可能在头脑中将两个盒子里的珠子作一一对应的。
（2）序列观念
序列观念是幼儿理解数序所必需的逻辑观念。幼儿对数序的真正认识，不是靠记忆，而是靠他对数列中数与数之间的相对关系（数差关系和顺序关系）的协调：每一个数都比前一个数多一，比后一个数少一。这种序列不能通过简单的比较得到，而有赖于在无数次的比较之间建立一种传递性的关系。因此，这是一种逻辑观念而不仅仅是直觉或感知。那么，幼儿的序列观念是怎样建立起来的呢？
我们可以观察到，小班幼儿在完成长短排序的任务时，如果棒棒的数量多于5个，他们还是有困难的。说明幼儿这时的幼儿尽管面对操作材料，也难以协调这么多的动作。中班以后，幼儿逐渐能够完成这个任务，而且他们完成任务的策略也是逐渐进步的。起先，他们是通过经验来解决问题，每一次成功背后都有无数次错误的尝试。我就看到有一个幼儿在完成排序之前经历了12次失败，而且每次只要有一点错误就全部推翻重来。到了后一阶段，幼儿开始能够运用逻辑解决问题。他每次找一根最短（或最长）的，依次往下排。因为他知道，他每次拿的最短的棒棒必定比前面所有的长，同时必定比后面所有的短。这就说明幼儿此时已具备了序列的观念。同样，这种序列观念只是在具体事物面前有效。如果脱离了具体形象，即使只有三个物体，幼儿也很难排出它们的序列。一个典型的例子就是：“小红的岁数比小明大，小亮的岁数比小红大。他们三个人，谁的岁数最大？”幼儿对这个问题是感到非常困难的。
（3）类包含观念
幼儿在数数时，都要经历这样的阶段：他能点数物体，却报不出总数。即使有的幼儿知道最后一个数就是总数（比如数到8就是8个），也未必真正理解总数的实际意义。如果我们要求他“拿8个物体给我”，他很可能就把第8个拿过来。说明这时幼儿还处在罗列个体的阶段，没有形成整体和部分之间的包含关系。幼儿要真正理解数的实际意义，就应该知道数表示的是一个总体，它包含了其中的所有个体。如5就包含了5个1，同时，每一个数，都被它后面的数所包含。只有理解了数的包含关系，幼儿才可能学习数的组成和加减运算。
幼儿从小班开始就能在感知的基础上进行简单的分类活动。但是在他们的思维中，还没有形成类和子类之间的层级关系，更不知道整体一定大于部分。作者曾经问一个幼儿，是红片片多还是片片多，他一直认为是红片片多。直到作者向他解释，片片指的是所有的片片，而不是（剩下的）绿片片，他才作出了正确的回答。而他得到答案的方式也是耐人寻味的。他不是象我们所想象的那样靠逻辑判断，而是一一点数，得出红片片是8个，片片是10个。片片比红片片多。这里，我们可以清楚地看到，在幼儿头脑中，整体与部分之间并没有形成包含关系，而是并列的两个部分的关系。他们至多只是借助于具体的形象来理解包含关系，而决没有抽象的类包含的逻辑观念。
通过以上的考察，我们可以看出，幼儿已经具备了一定的逻辑观念，这为他们学习数学提供了一定的心理准备。但这些逻辑观念又都具有很大的局限性，也就是说，它们非常依赖于具体的动作和形象。如果这些问题是和直接的、外化的动作和形象相联系的，幼儿则有可能解决，如果是较为间接的、需要内化于头脑的问题，幼儿就无能为力了。这个现象，正是由幼儿思维的抽象程度所决定的。
2、幼儿思维的抽象性及其发展
皮亚杰认为，抽象的思维起源于动作。抽象水平的逻辑来自于对动作水平的逻辑的概括和内化。在一岁半左右，幼儿具备了表象性功能，这使得抽象的思考开始成为可能。幼儿能够借助于头脑中的表象，对已经不在此时此地的事物进行间接的思考。能够摆脱时间和空间的限制而在头脑中进行思考，这是幼儿抽象思维发展的开始。然而，要在头脑中完全达到一种逻辑的思考，则是在大约十年以后。之所以需要这么长的时间，是因为幼儿要在头脑中重新建构一个抽象的逻辑。这不仅需要将动作内化于头脑中，还要能将这些内化了的动作在头脑中自如地加以逆转，即达到一种可逆性。这对幼儿来说，不是一件容易的事情。举一个简单的例子，如果我们让一个成人讲述他是怎样爬行的，他未必能准确地回答，尽管爬行的动作对他来说并不困难。他需要一边爬行，一边反省自己的动作，将这些动作内化于头脑中，并在头脑中将这些动作按一定的顺序组合起来，才能概括成一个抽象的认识。幼儿的抽象逻辑的建构过程就类似于此，但他们所面临的困难比成人更大。因为在幼儿的头脑中，还没有形成一个内化的、可逆的运算结构。表现在上面的例子中，幼儿既不能在头脑中处理整体和部分的关系，也不能建立一个序列的结构，而只能局限于具体事物，在动作层次上完成相关的任务。
所以，幼儿虽然能够理解事物之间的关系，但是幼儿的逻辑思维，是以其对动作的依赖为特点的。抽象水平的逻辑要建立在对动作的内化的基础上，而幼儿期正处于这个发展的过程中。具体表现为幼儿常常不能进行抽象的逻辑思考，而要借助于自身的动作或具体的事物形象。
值得一提的是，表象思维是幼儿思维的一个重要特点。幼儿时期的表象能力发展迅速，这对于他们在头脑中进行抽象的逻辑思考有重要的帮助作用。但是从根本上说，表象只是提供了幼儿抽象思维的具体材料，儿童的抽象逻辑思维取决于他们在头脑中处理事物之间逻辑关系的能力。总之，无论是形象还是表象，它们都是对静止事物或瞬间状态的模仿，属于思维的图像方面；而思维的运算方面，即对主体的外部动作和内部动作的协调，才是构成逻辑的基础。幼儿思维抽象性的发展，实际上伴随着两个方面的内化过程，一是外部的形象内化成为头脑中的表象，二是外部的动作内化成为头脑中的思考。而后者则是最根本的。
正由于幼儿尚不能进行完全抽象的思考，他们学习数学也必须要依赖于具体的动作和形象。借助于外部的动作活动和具体的形象，幼儿能够逐步进行抽象水平的思考，最终达到摆脱具体的事物，在抽象的层次上学习数学。